ریاضیات
 
قالب وبلاگ
نويسندگان
پيوندهای روزانه

با توجه به شکل زیر در زاویه ی متقابل به رأس داریم:

زاویه ی بین دو نیمساز مجاور، برابر با نصف مجموع دو زاویه می باشد.

 

زاویه ی بین دو نیمساز مجاور، برابر با نصف مجموع دو زاویه می باشد.

 

 

 

از برخورد یک خط اریب با دو خط موازی 8 زاویه ی حاده و منفرجه به وجود می آید. که زوایای حاده با یکدیگر برابر دو زوایای منفرجه  نیز با یکدیگر مساوی می باشند.

 

 

 

 

 

تعریف زاویه ی خارجی: زاویه ای که از امتداد یک ضلع مثلث با ضلع مجاورش ایجاد می شود، زاویه ی خارجی نامیده می شود. در شکل زیر ضلع AC را امتداد می دهیم زاویه ای که از امتداد این ضلع با ضلع مجاورش به وجود می آید زاویه ی خارجی نامیده می شود.

 

 

 

 

 

در برخورد n خط مستقیم، حداکثر زاویه ی تشکیل شده از رابطه ی  به دست می آید.

 

 

 

و توجه کنید چون در این حالت دو زاویه روبرو متقابل به رأس هستند؛ بنابراین، اندازه این زوایا حتماً برابر است و باید تعداد زاویه را بر دو تقسیم کنیم تا تعداد حداکثر زاویه نا برابر به دست آید.

 

 

 

اگر h: ساعت و m: دقیقه را نشان دهد،رابطه ی  زاویه ی بین عقربه های ساعت را نشان می دهد.  نشان دهنده ی قدر مطلق a می باشد که خاصیت قدر مطلق اینست که با هر علامتی وارد قدر مطلق شود، با علامت + از آن بیرون می آید.

 

 

 

‌برای اندازه ی گیری زاویه، همانند طول که واحد هایی همچون متر،‌اینچ و ... دارد و قابل تبدیل به یکدیگر می باشند، 3 واحد مرسوم وجود دارد.

 

 

 

1- درجه: هرگاه محیط دایره را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم، زاویه ی مرکزی رو به رو هر قسمت را یک درجه می نامند درجه را با D نشان می دهیم.

 

 

 

2- گراد: هرگاه محیط دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم، زاویه ی مرکزی روبرو به هر قسمت را یک گراد می نامند و گراد را با G یا gr کنار یک عدد نشان می دهیم.

 

 

 

3- رادیان: هرگاه کمانی از دایره را انتخاب کنیم که در ازای آن (طول) مساوی شعاع دایره باشد، زاویه ی مرکزی رو به روی آن را یک رادیان می نامند و آن را با R نشان می دهیم.

 

 

 

زاویه ی مرکزی:‌زاویه ای است که رأس آن به مرکز دایره واقع شده باشد و اضلاع آن شعاع هایی از دایره می باشند.

 

 

 

برای تبدیل این واحدها از روابط زیر استفاده می کنیم:

 

 

 

 

 

‌انواع مثلث:

 

 

 

مثلث قائم الزاویه: مثلثی که یک زاویه ی 90 درجه دارد، نامیده می شود.

 

 

 

ضلع روبرو به زاویه ی قائمه، را وتر می نامند. در شکل زیر، BC وتر نامیده می شود.

 

 

 

 

 

مثلث متساوی الاضلاع: مثلثی که هر سه ضلع آن با هم برابر باشند که در این نوع مثلث اندازه ی سه زاویه ی داخلی نیز با یکدیگر برابرند.

 

 

 

مثلث متساوی الساقین: مثلثی که دو ضلع آن با هم برابر باشد، دو ضلع برابر ساق های مثلث و ضلع نا برابر قاعده ی مثلث نامیده می شود با توجه به شکل زیر، AC,AB ساق هستند و BC قاعده نام دارد.

 

 

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه مربع اندازه ی ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب اندازه پاره خط هایی که پای ارتفاع وارد بر وتر حاصل می آید.

 

 

 

با توجه به شکل داریم: 

 

 

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه حاصل ضرب دو ضلع زاویه ی قائمه مساوی با حاصل ضرب وتر در ارتفاع وارد بر وتر می باشد. با توجه شکل زیر داریم:

 

 

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه، هرگاه اندازه ی یک زاویه  باشد، ضلع مقابل به زاویه ی 30 درجه نصف وتر است. در شکل زیر داریم:

 

 

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه، هرگاه اندازه ی یک زاویه  باشد، ضلع مقابل به زاویه ی  برابر  وتر می باشد. در شکل زیر داریم:

 

 

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه، هرگاه اندازه ی یک زاویه  باشد، ضلع مقابل به زاویه ی  برابر  وتر می باشد. در شکل زیر داریم:

 

 

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه با زاویه ی 15 درجه و یا  ، ارتفاع وارد بر وتر  وتر است.

 

 

 

در مثلث قائم الزاویه، عمود منصف ها روی وتر بر یکدیگر برخورد می کنند و نقطه ی تلاقی عمود منصف ها وتر را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه، زاویه ی ما بین ارتفاع و میانه ی وارد بر وتر برابر است با قدر مطلق تفاضل دو زاویه حاده مثلث. در شکل زیر اگر AH ارتفاع وارد بر وتر و AM میانه ی وارد بر وتر باشد داریم:

 

 

 

 

 

با توجه به شکل زیر در هر مثلث قائم الزاویه مربع اندازه ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب اندازه پاره خط هایی که پای اضلاع وارد بر وتر حاصل می آید.

 

 

 

 

 

در مثلث قائم الزاویه، اندازه ی میانه برابر است با نصف وتر.

 

 

 

 

 

در هر مثلث متساوی الاضلاع میانه، نیمساز، ارتفاع و عمود منصف هر ضلع بر یکدیگر منطبق می باشند.

 

 

 

AH میانه است. BH=HC AH نیمساز است. 

 

 

 

AH ارتفاع است. 

 

 

 

 

 

نیم سازهای داخلی و عمود منصف های مثلث متساوی الاضلاع بر هم منطبق می باشد. بنابراین مرکز دایره محاطی و محیطی مثلث متساوی الاضلاع مطابق شکل زیر بر هم منطبق بوده و شعاع دایره محاطی مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a برابر  شعاع دایره محیطی  است.

 

 

 

 

 

 

 

اندازه ی همه ی میانه ها، ارتفاع ها و عمود منصف ها در مثلث متساوی الاضلاع برابر است و با توجه به شکل زیر داریم:

 

 

 

a ضلع مثلث.  نیم ساز= میانه =ارتفاع =AH

 

 

 

 

 

مثلثی که دو ضلع برابر داشته باشد و مثلث متساوی الساقین نامیده می شود مانند شکل زیر، دو ضلع برابر ساق های مثلث و ضلع نا برابر قاعده مثلث نامیده می شود.  زاویه های مجاور به قاعده و AB=AC ساق ها در هر مثلث متساوی الساقین دو زاویه مجاور به قاعده با هم برابرند.

 

 

 

 

 

 

 

با توجه به شکل زیر،میانه، نیمساز، ارتفاع و عمود منصف نظیر قاعده مثلث متساوی الساقین بر یکدیگر منطبق می باشند.

 

 

 

 

 

توجه کنید به مثلث با محیط ثابت، بیشترین مساحت متعلق به مثلث متساوی الاضلاع است.

 

 

 

مساحت مثلث متساوی الاضلاع از فرمول  به دست می آید که a طول ضلع مثلث می باشد.

 

 

 

مساحت مثلث متساوی الساقین به قاعده ی a و ساق b از رابطه ی زیر به دست می آید.

 

 

 

 

 

مساحت مثلث متساوی الاضلاعی با طول ضلع a برابر است با: 

 

 

 

برای مثلثی که دارای طول اضلاع c,b,a می باشد، P را محیط می نامیم (S,(P=a+b+c را مساحت می نامیم که مساحت مثلث با محیط رابطه ای دارد که از قرار زیر است:

 

 

 

 

 

هر مثلث دارای سه ضلع می باشد که می توانیم آنها را قاعده بنامیم و ارتفاع وارد بر هر قاعده از رأس روبروی آن ضلع رسم می شود.

 

 

 

و مساحت مثلث

 

 

 

 

 

هم نهشتی به معنای قابلیت انطباق یا بر هم نهی می باشد. دو مثلث را هنگامی که تمامی اضلاع، اجزاء و زوایای آن با یکدیگر برابر باشند دو مثلث هم نهشت می نامند. سه حالت زیر را از حالت های هم نهشتی می نامند.

 

 

 

1- حالت (ض زض ): هرگاه دو ضلع و زاویه ی بین آنها از یک مثلث، با دو ضلع و زاویه ی بین آنها از مثلث دیگر مساوی باشند، آنگاه دو مثلث هم نهشت هستند.

 

 

 

2- حالت (ز ض ز): هرگاه دو زاویه و ضلع بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر مساوی باشند، آنگاه دو مثلث هم نهشت هستند.

 

 

 

3- حالت (ض ض ض): هرگاه سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر مساوی باشند، آن گاه دو مثلث هم نهشت هستند.

 

 

 

طبق شکل زیر دو مثلث را متشابه گویند که: زاویه های نظیر (عین هم) در دو مثلث برابر و اضلاع نظیر متناسب باشند.

 

 

 

 

 

که نسبت تشابه K می باشد.

 

 

 

حالات تشابه دو مثلث:

 

 

 

1) اگر دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند آن دو مثلث متشابه اند.

 

 

 

2) اگر یک زاویه از یک مثلث با یک زاویه از مثلث دیگر برابر و اضلاع نظیر این زوایا به یک نسبت با یکدیگر متناسب باشند، آن گاه دو مثلث متشابه اند.

 

 

 

3) اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه اند.

 

 

 

بین دو مثلث با نسبت تشابه K،‌نسبت میانه، ارتفاع ها و دیگر اجزای مثلث K می باشد. نسبت محیط این دو مثلث متشابه به K می باشد و نسبت مساحت این دو مثلث به هم  و البته تشابه حجم به دست آمده از دوران این مثلث ها  می باشد.

 

 

 

بین اجزای هر دو جسم متشابه با نسبت تشابه K نسبت های زیر برقرار است:

 

 

 

1)‌بین اجزا و اضلاع خطی آنها نسبت تشابه K وجود دارد.

 

 

 

2) بین محیط آنها نسبت تشابه K وجود دارد.

 

 

 

3) بین مساحت آنها نسبت تشابه  وجود دارد.

 

 

 

4)‌بین حجم آنها نسبت تشابه  وجود دارد.

 

 

 

تعریف نسبت های مثلثاتی:

 

 

 

با توجه به شکل داریم:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ارتفاع:‌پاره خطی که از یک رأس مثلث به رأس مثلث به ضلع مقابل یا امتداد ضلع باشد، ارتفاع مثلث نامیده می شود. هر مثلث دارای 3 ارتفاع می باشد. سه ارتفاع مثلث همدیگر را در نقطه ای قطع می کنند که اصطلاحاً هم رأس نامیده می شود. به شکل زیر توجه کنید.

 

 

 

 

 

 

 

میانه: پاره خطی که رأس یک مثلث را به وسط ضلع مقابل آن وصل می کند.

 

 

 

با توجه به شکل های زیر ، M نقطه وسط AB می باشى و CM که رأس Cرا به M وصل کرده میانه می باشد.

 

 

 

 

 

هر مثلث 3 میانه دارد و با توجه به شکل زیر هر میانه مثلث را به دو مثلث با مساحت های برابر تقسیم می کند و در شکل 4 داریم:

 

 

 

 

 

 

 

به یاد داشته باشید که نقطه ی برخورد میانه ها، هر میانه را به دو قسمت که نسبت آن 2 به 1 است، تقسیم می کند.

 

 

 

سه میانه مثلث، داخل مثلث هم رأسند. این نقطه هم رأسی میانه ها، گرانیگاه یا مرکز ثقل می باشد. نقطه ی تلاقی میانه به فاصله ی  طول هر میانه از وسط ضلع و به فاصله ی  طول میانه از رأس واقع است. با توجه به شکل زیر داریم:

 

 

 

 

 

 

 

نیم ساز: پاره خطی است که زاویه ی مثلث را نصف می کند و به ضلع مقابل محدود می کند. با توجه به شکل زیر، CD نیمساز زاویه ی C می باشد، یعنی دو زاویه ی  با هم برابرند.

 

 

 

 

 

ابتدا تعریف فاصله: منظور از فاصله همیشه کمترین مسیر بوده که این مسیر همیشه یک خط عمود است. مثلاً نقطه O از خط BC تنها خط  است که از آن نقطه بر آن خط عمود است.

 

 

 

 

 

‌هرگاه هر سه زاویه ی مثلث حاده باشند، محل تلاقی ارتفاع ها داخل مثلث است.

 

 

 

در مثلث قائم الزاویه ، محل تلاقی ارتفاع ها رأس قائمه می باشد.

 

 

 

اگر مثلثی یک زاویه ی منفرجه یعنی بزرگتر از 90 درجه داشته باشد،با توجه به شکل محل تلاقی ارتفاع ها در آن مثلث در خارج از مثلث می باشد.

 

 

 

 

 

پاره خطی که از وسط ضلع گذشته و بر آن عمود باشد. H نقطه وسط پاره خط AB است و پاره خط HD بر ضلع AB عمود است و از نقطه Hنیز می گذرد. بنابراین HD عمود منصف وارد بر ضلع AB است. با توجه به شکل .

 

 

 

 

 

با توجه به شکل زیر، محل تلاقی عمود منصف ها همواره از سه رأس به یک فاصله است و مرکز دایره ی محیطی مثلث است.AO=BO=CO

 

 

 

دایره ی محیطی در شکل رسم شده. دایره ای است که سه رأس مثلث روی محیط آن دایره قرار گرفته باشند.

 

 

 

 

 

قضیه ی فیثاغورث:

 

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه توان دوم وتر برابر است با مجموع توان دوی دو ضلع دیگر. با توجه به شکل زیر داریم: 

 

 

 

 

 

قضیه ی تالس:

 

 

 

طبق شکل زیر اگر خطی با یک ضلع مثلث موازی باشد و دو ضلع دیگر را قطع کند،‌نسبت پاره خط هایی که روی یک ضلع پدید می آید برابر است با نسبت پاره خط هایی که روی ضلع دیگر ایجتد می کند. یعنی اگر در مثلث ABC، EF موازی BC نیز پاره خط هایی باشند که روی ضلع دیگر ایجاد شده باشند.

 

 

 

 

 

 

 

هنگامی که با معادله و دو مجهول داریم باید بتوانیم با ضرب عددی علامت دار در یکی از دو معادله یا در هر دو معادله، یکی از مجهولات را حذف کنیم و مجهول دیگر را به دست آوریم و با جایگذاری مجهول دوم، مقدار مجهول اول را نیز به دست آوریم.

 

 

 

اگر مثلث ما دارای اضلاع c,b,a باشد در هر مثلث داریم: هر ضلع از مجموع دو ضلع دیگر کوچکتر است.

 

 

 

 

[ سه‌شنبه ٢٩ فروردین ۱۳٩۱ ] [ ٩:٠٢ ‎ق.ظ ] [ محمد رضا جبین پور ] [ نظرات () ]
.: Weblog Themes By SibTheme :.

درباره وبلاگ

در هر چیز از جمله یک نظریه ریاضی زیبایی را میتوان درک کرد اما نمی توان توضیح داد.
صفحات دیگر
امکانات وب